Последовательность натуральных чисел. Числовая последовательность

Введение………………………………………………………………………………3

1.Теоретическая часть……………………………………………………………….4

Основные понятия и термины…………………………………………………....4

1.1 Виды последовательностей…………………………………………………...6

1.1.1.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности…..6

1.1.2.Монотонность последовательностей…………………………………6

1.1.3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….7

1.1.4.Свойства бесконечно малых последовательностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства..…9

1.2Предел последовательности………………………………………………….11

1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей……………………………15

1.3.Арифметическая прогрессия…………………………………………………17

1.3.1. Свойства арифметической прогрессии…………………………………..17

1.4Геометрическая прогрессия…………………………………………………..19

1.4.1. Свойства геометрической прогрессии…………………………………….19

1.5. Числа Фибоначчи……………………………………………………………..21

1.5.1 Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний…………………….22

1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы…………………………………………………………………………….23

2. Собственные исследования…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список использованной литературы…………………………………………....31

Введение.

Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний.

Цель исследовательской работы: Расширить знания о числовой последовательности.

1. Рассмотреть последовательность;

2. Рассмотреть ее свойства;

3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности;

4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний.

5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.

1. Теоретическая часть.

Основные понятия и термины.

Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a, и пишут

Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.

Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрическая прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Виды последовательностей.

1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M;

Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М;

Например:

1.1.2 Монотонность последовательностей.

Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn

Убывающие и возрастающие последовательности называют строго монотонными, невозрастающие- монотонными в широком смысле.

Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными.

Последовательность всех этих типов носят общее название- монотонные.

1.1.3 Бесконечно большие и малые последовательности.

Бесконечно малая последовательность- это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность an называется бесконечно малой, если

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)=0.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)=0 либо ℓimx→-∞ f(x)=0

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Бесконечно большая последовательность- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности.

Последовательность an называется бесконечно большой, если

ℓimn→0 an=∞.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ либо ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Свойства бесконечно малых последовательностей.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули.

Если {xn} - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же всё же {xn} содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

Если {an} - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

1.1.5 Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства.

Сходящаяся последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N . В том случае, когда эта функция числовая, то бесконечной числовой последовательностью . Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f (n ), которое соответствует натуральному числу n , называется n -м членом последовательности. Иногда вместо f (n ) используются обозначения a n , x n .

Примеры числовой последовательности:

f (n ) = 3n + 2, откуда f (1) = 5, f (2) = 8,..., f (100) = 302,... ;

f (n ) = 1 + (-1) n , откуда f (1) = 0, f (2) = 2,... или, в общем случае, f (2k - 1) = 0, f (2k ) = 2 (k ∈ N ).

Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n -го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: a n = 2 n .

Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: a n = 2(a n -1 + 3), a 1 = 2. Тогда a 2 = 10, a 3 = 26,...

Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.

Последовательность называется возрастающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n a n +1 .

Последовательность называется спадающей , если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n > a n +1 .

Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными .

Например, последовательность заданная формулой a n = n /(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a n +1 - a n = (n + 1)/(n + 2) - n /(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть a n a n +1 . Последовательность с общим членом a n = 1 + (-1) n не является монотонной, т.к. a 1 a 2 , а a 2 > a 3 .

Последовательность называется ограниченной сверху M ∈ R , что a n ≤ M .

Последовательность называется ограниченной снизу , если существует такое число m ∈ R , что a n ≥ m .

Например, последовательность a n = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность a n = (-1) n n не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной , если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Число a называется границей последовательности (a n ), если для любого ε > 0 существует натуральное число N , такое, что для всех n > N выполняется неравенство |a n - a | limn →∞ a n = a или a n → a .

Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся . Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся .

Если lim n →∞ a n = 0, то последовательность (a n ) называется бесконечно малой.

Свойства пределов числовой последовательности:

1. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n + b n ) = a + b ;

2. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b , то lim n →∞ (a n b n ) = a b ;

3. Если lim n →∞ a n = a и lim n →∞ b n = b ≠ 0, то lim n →∞ (a n /b n ) = a /b ;

4. lim n →∞ c a n = c lim n →∞ a n , где c ∈ R ;

5. Если lim n →∞ a n = lim n →∞ b n = a и a n ≤ c n ≤ b n , то lim n →∞ c n = a .

6. Если lim n →∞ a n = a , lim n →∞ b n = b и a n b n при n ∈ N , то a ≤ b .

Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.

Определение .
Числовой последовательностью { x n } называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x n .
Элемент x n называют n-м членом или элементом последовательности.

Последовательность обозначается в виде n -го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
, , .

Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n , элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0 : при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n , погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N , что для всех элементов с номерами большими чем N : , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε : .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n , их величины приближаются к предельному значению a = 0 . Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0 , для которой можно найти такой номер N , что элементы, с номерами большими чем N , будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0 : при .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:

Вот ее первые члены:


.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0 . Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2 . Сама же последовательность, с ростом n , не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем


.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Например, для точки a = 0 можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0 .

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1 .

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице

1 Определение

2 Примеры

3 Операции над последовательностями

4 Подпоследовательности

• 4.1 Примеры

  4.2 Свойства

5 Предельная точка последовательности

6 Предел последовательности

7 Некоторые виды последовательностей

• 7.1 Ограниченные и неограниченные последовательности

  • 7.1.1 Критерий ограниченности числовой последовательности

    7.1.2 Свойства ограниченных последовательностей

7.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• 7.2.1 Свойства бесконечно малых последовательностей

7.3 Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• 7.3.1 Свойства сходящихся последовательностей

7.4 Монотонные последовательности

7.5 Фундаментальные последовательности

Числовая последовательность - это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе .

Определение

Пусть множество X - это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью .

Примеры

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции , если таковые определены на множестве X . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой x n ) и (y n z n ) такая, что z n = x n + y n .

Разностью числовых последовательностей (x n ) и (y n ) называется числовая последовательность (z n ) такая, что z n = x n − y n .

Произведением числовых последовательностей x n и y n называется числовая последовательность (z n ) такая, что .

Частным числовой последовательности x n и числовой последовательности y n , все элементы которой отличным от нуля , называется числовая последовательность . Если в последовательности y n на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца .

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (x n ) - это последовательность , где (k n ) - возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Последовательность натуральных чисел, кратных 12 , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Основная статья : Предельная точка

Предельная точка последовательности - это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом .

Предел последовательности

Основная статья : Предел последовательности

Предел последовательности - это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел - это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности - это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности - это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности - это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

Стационарная последовательность - это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

(x n ) стационарная

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностией.

Ограниченная сверху последовательность X , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

(x n ) ограниченная сверху

Ограниченная снизу последовательность - это последовательность элементов множества X , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

(x n ) ограниченная снизу

Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность ) - это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

(x n ) ограниченная

Неограниченная последовательность - это последовательность, которая не является ограниченной.

(x n ) неограниченная

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

(x n ) ограниченная

Свойства ограниченных последовательностей

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно малая последовательность - это последовательность, предел которой равен нулю .

Бесконечно большая последовательность - это последовательность, предел которой равен бесконечности .

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе , а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули.

Если (x n ) - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x n ), которая является бесконечно малой. Если же (x n ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x n n , и всё равно будет бесконечно малой.

Если (α n ) - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α n ), которая является бесконечно большой. Если же (α n ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α n ) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Сходящаяся последовательность - это последовательность элементов множества X , имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность - это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю .

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

Если последовательность (x n ) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x n ), которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

Любую сходящуюся последовательность (x n ) можно представить в виде (x n ) = (a + α n ), где a - предел последовательности (x n ), а α n - некоторая бесконечно малая последовательность.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной . При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Основная статья :

Монотонная последовательность - это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка .

Фундаментальные последовательности

Основная статья :

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) - это последовательность элементов метрического пространства , в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Последовательность Числовой рядРеферат >> Математика

Ва сходящихся рядов Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел соединенная знаком... поток событий Поток событий- последовательность событий которые наступают в случайные... -ва: 1. F(x) определена на всей числовой прямой R; 2.F(x) не убывает, т.е. ...