Простые кратные числа. Делители и кратные числа: определения и примеры

§ 1 Делитель и кратное – определение понятий

В этом уроке Вы узнаете, что такое делитель и что такое кратное натуральных чисел, и научитесь находить их.

Давайте вспомним, какие числа называются натуральными? Это те числа, которые используются при счете, например: 1, 2, 3, 4…

Давайте решим задачу:

Летом трое мальчиков пошли на рыбалку и поймали 9 щук. Весь улов они сложили в одно ведро. Щук решили поделить поровну. Сколько рыб получит каждый мальчик?

Следовательно, каждый мальчик получит по 3 рыбы.

Говорят, что 3 является делителем числа 9, так как 9 делится на 3 без остатка.

А теперь давайте посмотрим, что получится, если мальчиков будет не трое, а четверо.

В этом случае всю рыбу необходимо разделить на четверых

9:4=2 (1 в остатке), т.е. каждый мальчик получит по 2 щуки и одна рыба останется в ведре. Значит, число 4 не является делителем числа 9, так как 9 не делится на 4 без остатка.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Заметим также, что на единицу любое натуральное число делится без остатка, поэтому 1 является наименьшим делителем для всех натуральных чисел. А наибольшим делителем для любого натурального числа является само число.

Следовательно, натуральное число 9 имеет три делителя: 1, 3, 9.

Именно на эти числа 9 делится без остатка. 9:1=9, 9:3=3, 9:9=1.

Теперь вернемся к условиям нашей задачи:

Трое ребят поделили 9 щук между собой поровну, каждый получил по 3 рыбы.

Говорят, что число 9 кратное числа 3, так как 9 на 3 делится без остатка.

Давайте немного изменим условия задачи:

А если бы они поймали 10 щук? Сколько рыб получил бы каждый?

10:3=3 (1 в остатке)

В этом случае каждый мальчик получил бы по 3 рыбы, и 1 щука осталась бы в ведре. Число 10 не является кратным числа 3, так как 10 не делится на 3 без остатка.

Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится на а без остатка.

§ 2 Нахождение делителя и кратного

Необходимо правильно употреблять слова кратно и кратное.

Обычно говорят: число девять кратно числу три или девять кратно трем.

При использовании слова «кратное»: число девять кратное числа три или девять кратное трех.

Существует множество натуральных чисел, которые делятся на 3 без остатка, например: 3, 12, 39, 96 и т.д. Все эти числа являются кратными числа 3.

Получить их очень легко, необходимо 3 умножить на 1, 2, 3, 4 и т.д.

Например: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12 и т.д.

Таким образом, любое натуральное число имеет бесконечное число кратных. Отметим, что наименьшим кратным для любого натурального числа является само число.

Но в то же время число 3 для чисел 3, 6, 9, 12 и т.д. будет являться делителем. Числа, которые одновременно являются делителями некоторых чисел, называются их общими делителями.

Таким образом, на уроке мы познакомились с понятиями делитель и кратное натуральных чисел и научились находить их.

Список использованной литературы:

1. Математика. 6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 2013. - 288 с.
2. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Минаева С.С. - 2014.
3. Математика. 6 класс. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2009.

Эта статья посвящена делителям и кратным. Здесь мы объясним данные понятия, сформулируем определения, приведем примеры делителей и различных кратных чисел (рассмотрим пока только целые числа). Отдельно остановимся на делителях 1 и - 1 , а также делителях и кратных 0 .

Основные определения

Для начала сформулируем определения для целого числа.

Определение 1

Делитель целого числа a есть такое число b , на которое можно разделить a без остатка.

Если вспомнить такое понятие, как делимость, то данную формулировку можно слегка изменить.

Определение 2

Делитель целого числа a – это такое число b , которое в сочетании с некоторым числом q делает справедливым равенство a = b · q .

Когда мы говорим о числе b , являющимся делителем целого числа a , это значит, что b делит a , что можно записать кратко как b | a или b \ a .

Согласно определению целых чисел, а также свойствам умножения целых чисел, любое целое число можно разделить на единицу и на себя, то есть a = a · 1 и a = 1 · a . Зная свойства умножения, мы можем также вывести равенства a = (− a) · (− 1) и a = (− 1) · (− a) . Из них следует, что у a будет еще два делителя, равных − a и − 1 . Следовательно, целое число a мы всегда можем разделить на a , − a , 1 и − 1 . К примеру, число 12 делится на 12 , - 12 , 1 и - 1 .

Остановимся на делителях таких чисел, как нуль, единица и минус единица. Поскольку нам знакомы свойства делимости, то мы можем заключить, что делителем 0 может стать любое целое число (включая сам 0), а единица и минус единица имеют только делители, равные 1 и − 1 соответственно.

Таким образом, 0 всегда будет иметь бесконечно большое число делителей в виде целых чисел (сюда входит и нуль), а у 1 и − 1 будут только 2 делителя – единица и минус единица. Минимальное количество делителей для любого целого числа a равно четырем. В их число входят a , − a , 1 и − 1 .

Какие еще можно привести примеры делителей в случае с целыми числами?

Пример 1

Так, 8 можно разделить на - 2 , поскольку равенство 8 = (− 2) · (− 4) верное (если нужно, повторите материал об умножении целых чисел). Восьмерку мы также можем разделить на − 8 , − 4 , − 1 , 1 , 2 , 4 , 8 , а вот - 3 не входит в состав делителей, поскольку числа q , при котором равенство 8 = (− 3) · q было бы верным, не существует. То есть разделить 8 на - 3 мы можем только с остатком. Кроме указанных делителей, мы не можем разделить восьмерку ни на какие целые числа без остатка.

Рассмотренные выше примеры говорят нам о том, что в качестве делителей целого числа могут выступать не только положительные, но и отрицательные целые числа. Эта возможность обоснована одним из свойств делимости: если b – делитель целого числа a , то и противоположное число - b тоже будет его делителем. Следовательно, можно разбирать только случаи с положительными делителями и просто распространять полученные результаты на отрицательные.

Вспомним также и другое свойство делимости, которое гласит, что если целое число b будет делителем a , то a можно разделить и на - b , следовательно, множества делителей для положительного и отрицательного a будут совпадать. Это правило опять же подтверждает возможность работы только с положительными числами для простоты и краткости вычислений.

У единицы есть только один положительный делитель – сама единица. Этим 1 отличается от остальных натуральных чисел, поскольку другие имеют не меньше 2 делителей: кроме единицы их можно разделить на числа, равные им самим. В зависимости от того, имеются ли делители, отличные от самого числа и единицы, различают числа простые и составные.

Наименьший положительный делитель числа a – это единица (если само число a не равно 1),
а число a – наибольший положительный делитель самого себя (подробнее о сравнении трех и более натуральных чисел мы писали в отдельной статье). Таким образом, для любого натурального a положительный делитель b будет соответствовать условию 1 ≤ b ≤ a . Важную роль здесь также играет наибольший общий делитель (НОД), о котором мы поговорим отдельно.

Понятие кратных чисел

Начнем, как всегда, с определения.

Определение 3

Число a называется кратным b , если его можно разделить на b без остатка.

Другими словами, кратное b число является некоторым числом a , для которого будет верным равенство a = b · q (здесь q – некоторое целое число). Если у нас есть a , которое по отношению к b является кратным, мы говорим, что a кратно b . Записать это можно так: a ⋮ b .

Между кратным и делимым существует вполне определенная связь. На самом деле, если a является кратным b , то b будет делителем данного числа, и наоборот.

Возьмем несколько примеров кратных чисел.

Пример 2

Так, - 12 будет кратно трем, поскольку − 12 = 3 · (− 4) . У тройки есть много других кратных, например, 0 , 3 , − 3 , 6 , − 6 , 9 , − 9 и др. А 5 не будет кратным 3 , поскольку нет такого q , при котором было бы верным равенство 7 = 3 · q .

Согласно определению кратных чисел, 0 будет кратным по отношению к любому b , в том числе и нулевому. Доказательством является равенство 0 = b · 0 , ведь умножение любого числа на нуль дает в итоге нуль.

Также уточним, что для любого целого числа b существует бесконечно много кратных, и любое целое число, соответствующее произведению b · q , где q – любое целое число, будет кратным b .

Наименьшее положительное кратное положительного числа есть само это число. Обратите внимание, что наименьшее кратное в этом случае не нужно путать с наименьшим общим кратным для нескольких чисел (НОК).

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Инструкция

Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, закономерности в ряду не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».

Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Какие же числа могут быть составными?
Так как числа делятся на 2 нацело, то все четные числа , кроме числа 2, будут составными. Действительно, при делении 2:2 двойка делится саму на себя, то есть имеет только два делителя (1 и 2) и является простым числом.

Посмотрим, есть ли у четного числа еще каки-либо делители . Разделим его сначала на 2. Из коммутативности операции умножения очевидно, что получившееся частное также будет делителем числа . Затем, если получившееся частное будет целым, разделим опять на 2 уже это частное. Тогда получившееся в результате новое частное y = (x:2):2 = x:4 тоже будет делителем исходного числа . Аналогично, и 4 будет делителем исходного числа .

Продолжая эту цепочку, обобщим правило: последовательно делим сначала а потом получившееся частные на 2 до тех пор, пока -либо частное не станет равно нечетному числу. При этом все получившиеся частные будут делителями этого числа . Кроме этого делителями этого числа будут и числа 2^k где k = 1...n, где n - число шагов этой цепочки.Пример: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 - нечетное число. Следовательно, 12, 6 и 3 - делители числа 24. В этой цепочке 3 шага, следовательно, делителями числа 24 будут также числа 2^1 = 2 (уже известно из четности числа 24), 2^2 = 4 и 2^3 = 8. Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 будут делителями числа 24.

Однако не для всех четных чисел эта может дать все делители числа . Рассмотрим, например, число 42. 42:2 = 21. Однако, как известно, числа 3, 6 и 7 также будут делителями числа 42.
Существуют делимости на числа . Рассмотрим важнейшие из них:
Признак делимости на 3: когда сумма цифр числа делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 5: когда последняя цифра числа 5 или 0.
Признак делимости на 7: когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 9: когда сумма цифр числа делится на 9 без остатка.
Признак делимости на 11: когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо от неё на число, делящееся на 11.
Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа .

Как для четных, так и для нечетных чисел нужно использовать признаки деления на то или иное число. Разделив число, следует определить делители получившегося частного и.т.д. (цепочка аналогична цепочки четных чисел при делении их на 2, описанной выше).

Источники:

• Признаки делимости

Из четырех основных математических действий наиболее ресурсоемкой операцией является деление. Его можно осуществлять вручную (столбиком), на калькуляторах различных конструкций, а также при помощи логарифмической линейки.

Инструкция

Чтобы поделить одно число на другое столбиком, запишите вначале делимое, затем делитель. Между ними расположите вертикальную линию. Под делителем проведите горизонтальную линию. Последовательно как бы удаляя у младшие разряды, получите число, которое больше делителя. Последовательно умножая цифры от 0 до 9 на делитель, найдите наибольшее из чисел , меньших полученного на предыдущем этапе. Запишите эту цифру как первый разряд частного. Результат умножения этой цифры на делитель запишите под делимым со сдвигом на один разряд вправо. Произведите вычитание, а с его результатом осуществите те же действия, пока не найдете все разряды частного. Расположение запятой определите, вычтя порядок делителя из порядка делимого.

Если числа не делятся друг на друга, возможны две ситуации. В первой из них одна цифра или сочетание из нескольких цифр будет повторяться бесконечно. Тогда продолжать вычисление бессмысленно - достаточно взять эту цифру или цепочку из цифр в период. Во второй ситуации какой-либо закономерности в частного не удастся. Тогда прекратите деление, добившись желаемой точности результата, а последний округлите.

Для деления одного числа на другое с использованием калькулятора с арифметической (как простейшего, так и инженерного) нажмите кнопку сброса, введите делимое, нажмите кнопку деления, введите делитель, а затем нажмите кнопку со знаком равенства. На калькуляторе с формульной записью производите деление аналогичным образом, с учетом того, что клавиша со знаком равенства может носить , например, Enter или Exe. Современные приборы этого типа являются двухстрочными: набирается в верхней строке, а результат отображается в нижней более крупными цифрами. Используя клавишу Ans, этот результат можно использовать в следующем вычислении. Во всех случаях результат автоматически округляется в пределах разрядной сетки калькулятора.

На калькуляторе с обратной польской записью вначале нажмите кнопку сброса, затем введите делимое и нажмите клавишу Enter (вместо этой надписи на ней может быть стрелка, направленная вверх). Число окажется в ячейке стека. Теперь введите делитель и нажмите клавишу со знаком деления. Произойдет деление числа из стека на число, которое отображалось до этого на индикаторе.

Логарифмическую линейку используйте в тех случаях, когда точность требуется небольшая. Уберите из обоих чисел , а затем от каждого из них возьмите по два старших разряда. На шкале A найдите делитель, а затем совместите его с делимым на шкале B. Затем найдите на последней единицу - прямо над ней на шкале A будет расположено частное . Местоположение запятой в нем определите тем же способом, что и столбиком.

Источники:

• Порядок деления столбиком
• частные числа это

Школьники часто встречают среди заданий по математике такую формулировку: "найдите наименьшее общее кратное чисел". Этому обязательно нужно научиться делать, чтобы выполнять различные действия с дробями с неодинаковыми знаменателями.

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24, ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Наибольший общий делитель - это максимальное число, на которое может делиться каждое из предлагаемых чисел. Часто этот термин используется для сокращения сложных дробей, где и числитель и знаменатель надо разделить на одинаковое число. Иногда можно определить наибольший общий делитель на глаз, однако в большинстве случаев, что того, чтобы его найти потребуется провести ряд математических операций.

Вам понадобится

• Для этого вам понадобится листок бумаги или калькулятор.

Инструкция

Разложите каждое сложное число на произведение простых или множителей. Например, 60 и 80, где 60 - равно 2*2*3*5, а 80 - 2*2*2*2*5, проще это можно записать с помощью . В данном случае будет выглядеть как два во второй , умноженное на пять и три, а второй - произведение двух в четвертой и пяти.

Теперь выпишите общие для обоих чисел . В нашем варианте - это два и пять. Однако в других случаях это число может быть одно, два или три цифры и даже . Далее нужно поработать . Выберите наименьшую у каждого из множителей. В примере это два во второй степени и пять в первой.

В завершении просто нужно перемножить получившиеся цифры. В нашем случае все предельно просто: два в , умноженное на пять, равно 20. Таким образом, число 20 можно назвать наибольшим общим делителем для 60 и 80.

Видео по теме

Обратите внимание

Помните, что простым множителем является число, которое имеет только 2 делителя: единица и само это число.

Полезный совет

Кроме данного метода можно также пользоваться алгоритмом Евклида. Полное его описание, представленное в геометрической форме, можно найти в книге Евклида "Начала".

Связанная статья

Нередко можно встретить такие уравнения, в которых неизвестен . Например 350: Х = 50, где 350 - делимое, Х - делитель, а 50 - частное. Для решения этих примеров необходимо произвести определенный набор действий с теми числами, которые известны.

Вам понадобится

• - карандаш или ручка;
• - лист бумаги или тетрадь.

Инструкция

Составьте простое уравнение, где неизвестное, т.е. Х - это количество детей, 5 - это число конфет, полученных каждым ребенком, а 30 - это количество сладостей, которое было куплено. Таким образом вы должны получить : 30: Х = 5. В этом математическом выражении 30 называется делимым, Х - делителем, а получившееся частное равно 5.

Теперь приступайте к решению. Известно: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Получается:Х = 30: 5;30: 5 = 6;Х = 6.

Сделайте проверку, подставив в уравнение получившееся число. Итак, 30: Х = 5, вы нашли неизвестный делитель, т.е. Х = 6, таким образом: 30: 6 = 5. Выражение верно, а из этого следует, что уравнение решено . Разумеется, при решении примеров, в которых фигурируют простые числа, проверку выполнять необязательно. Но когда уравнения из , трехзначных, четырехзначных и т.д. чисел, обязательно проверяйте себя. Ведь это не отнимает много времени, но дает абсолютную уверенность в полученном результате.

Обратите внимание

«Делители и кратные» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:

В этом разделе Вы узнаете, какое число называется кратным, а какое делителем. Нужно хорошо выучить эти определения, потому что потом Вы будете постоянно использовать их.
Но сначала давайте повторим, какие числа мы называем натурными. Натуральные числа – это такие числа, с помощью которых мы можем подсчитать количество разнообразных предметов. Например, на столе лежат пять бананов. Как мы их считаем: один банан, два, три, четыре, пять. Подсчитав бананы, мы получили число 5, и оно является натуральным. Сразу же возникает вопрос: а является ли число ноль натуральным? Нет, не является. Мы же не начали считать бананы с ноля: ноль бананов, один, два. Поэтому, натуральные числа начинаются с единицы.
А какое число мы можем назвать делителем натурального числа? Согласно определению, делителем натурального числа (назовем его Большое) считается натуральное число, на которое Большое делится полностью, то есть целиком, то есть без остатка, совсем-совсем без остатка. Например, на бальные танцы ходят 10 девочек и 9 мальчиков. Можно ли поделить мальчиков так, чтобы у каждой девочки был партнер? Нет, мальчики же частями не делятся, поэтому 1 мальчик одновременно может танцевать только с 1 девочкой. А у всех ли девочек будет партнер? Нет, одна девочка останется без партнера – она в остатке. А если придет еще один мальчик и их станет 10, то 10 мальчиков и 10 девочек прекрасно станут в пары, то есть никакая девочка в остатке не будет и мальчиков по частям делить не придется. То есть 10 делится на 10 без остатка, получается, что число 10 есть делителем числа 10. Как запомнить это определение. Все просто. Делитель – это число, которое что-то делит.
Немного сложнее с кратным. Кратное – это наше Большое число, которое готово делиться на делитель, но только без остатка. Например, в каждой упаковке «Баунти» лежит 2 конфеты. Мама разрешила взять их в школу, но с одним условием: конфеты должны быть в упаковке. Вы хотите взять 5 конфет, чтобы угостить своих друзей, но нельзя конфету без обертки нести в школу и потому придется брать 3 упаковки, то есть 6 конфет. В этом случае число 6 является кратным числа 2, потому что делится на 2 без остатка. Как еще запомнить, что такое кратное: оно всегда больше делителя. Можно даже задать вопрос. А сколько раз помещается делитель в кратном? Поэтому у любого натурального числа есть огромное количество кратных, а самым маленьким из них является это самое число. Например, наименьшим кратным числа 10 есть число 10 (сколько раз делитель помещается в кратном – 1 раз).

В этой статье мы обсудим делители и кратные . Здесь мы дадим определения делителя и кратного числа. Эти определения нам позволят привести примеры делителей и кратных различных целых чисел. Отдельно рассмотрим делители единицы и минус единицы, а также поговорим о делителях и кратных нуля.

Навигация по странице.

Делители числа – определение, примеры

Сначала дадим определение делителя целого числа.

Определение.

Делителем целого числа a называется целое число b , на которое a делится нацело.

Натуральное число 1 имеет единственный положительный делитель – это число 1 . Этот факт отличает единицу от других натуральных чисел, так как натуральные числа, отличные от единицы, имеют не менее двух делителей, а именно себя самого и 1 . В зависимости от отсутствия или наличия делителей, отличных от самого натурального числа и от единицы, различают простые и составные числа .

Единица является наименьшим положительным делителем натурального числа a , отличного от 1 , а само число a является наибольшим положительным делителем (о наибольшем и наименьшем числе мы говорили в разделе ). То есть, для любого натурального числа a любой его положительный делитель b удовлетворяет условию .

Кратные числа – определение, примеры

Дадим определение кратного .

Определение.

Кратное целого числа b – это целое число a , которое делится на b нацело.

Иными словами, кратное целого числа b – это такое целое число a , которое может быть представлено в форме a=b·q , где q – некоторое целое число.

Если a является кратным целого числа b , то говорят, что a кратно b . При этом применяют обозначение ab .

Определение кратного и делимого явно указывает на существующую между ними связь. Действительно, по определению если a – кратное числа b , то b – делитель числа a , и наоборот, если b – делитель числа a , то a – кратное числа b .

Приведем примеры кратных . Например, целое число −12 есть кратное числа 3 , так как −12=3·(−4) . Другими кратными числа 3 являются целые числа 0 , 3 , −3 , 6 , −6 , 9 , −9 и так далее. А вот число 7 не является кратным целого числа 3 , так как 7 не делится на 3 без остатка, то есть, не существует такого целого числа q , чтобы выполнялось равенство 7=3·q .

Из определения кратного числа понятно, что нуль является кратным любого целого числа b , в том числе и нуля. Равенство 0=b·0 в этом случае выглядит очень доказательно.

Отметим, что существует бесконечно много кратных любого целого числа b , так как целых чисел бесконечно много, и любое целое число, равное произведению b·q , где q – произвольное целое число, является кратным числа b .

Наименьшим положительным кратным данного положительного числа a является само это число a . Здесь же стоит обратить внимание на то, что наименьшее положительное кратное не стоит путать с наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел.

Дальше мы можем рассматривать лишь натуральные кратные целых положительных чисел. Это мы можем делать в силу тех же причин, которые были упомянуты в первом пункте этой статьи, при этом общность изложения не будет нарушена.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.